En 2006, Grigori Perelman est venu à bout de la conjecture de Poincaré, un problème alors ouvert depuis plus d'un siècle et dont la résolution était mise à prix : un million de dollars ! Qu'est-ce qui se cache derrière ce “problème du millénaire” ? Pour le comprendre il faut passer par des sphères plates et des carrés sans bord.